$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Suites et séries de fonctions > Séries entières >

Série entière

Si $(a_n)$ est une suite de nombres réels ou complexes, la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} a_n z^n$ s'appelle la série entière de coefficients la suite $(a_n)$. Cette série ne converge pas forcément pour toutes les valeurs de $z$. Le lemme suivant est fondamental pour déterminer l'ensemble de convergence :

Lemme d'Abel : Si $r>0$ est tel que la suite $(a_nr^n)$ est bornée, alors la série $\sum_{n\geq 0} a_n z^n$ converge absolument pour $|z|<r$.

On prouve alors qu'il existe alors $R\in [0,+\infty[\cup\{+\infty\}$ tel que :

  • $\sum_{n\geq 0} a_n z^n$ converge (absolument) pour $|z|<R$.
  • $\sum_{n\geq 0} a_n z^n$ diverge grossièrement (le terme général ne tend pas vers 0) pour $|z|>R$.

$R$ s'appelle le rayon de convergence de la série, et le disque de centre $0$ de rayon $R$ s'appelle disque ouvert de convergence. On détermine souvent le rayon de convergence en utilisant la règle de D'Alembert.

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