Série double
On parle de série double lorsqu'on a une suite de nombres complexes $(u_{n,p})_{(n,p)\in\mathbb N^2}$ indexée par un couple d'entiers $(n,p)$ et que l'on cherche à donner un sens à $\sum_{n,p=0}^{+\infty}u_{n,p}.$ Cela n'est pas toujours possible, mais on a un résultat positif en cas de convergence absolue :
Théorème :
Supposons que, pour tout $n$, le nombre $a_n=\sum_{p=0}^{+\infty}|u_{n,p}|$ existe et supposons que la série de
terme général $a_n$ converge. Alors
Autrement dit,
$$\sum_{p=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n,p}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{p=0}^{+\infty} u_{n,p}\right).$$
- pour tout entier $p$, la série $\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n,p}$ converge, on note $b_p$ sa somme.
- pour tout entier $n$, la série $\sum_{p=0}^{+\infty}u_{n,p}$ converge, on note $c_n$ sa somme.
- les séries $\sum_{p=0}^{+\infty}b_p$ et $\sum_{n=0}^{+\infty}c_n$ convergent, et on a $$\sum_{p=0}^{+\infty}b_p=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n.$$
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