Série de Dirichlet

On appelle série de Dirichlet une série de fonctions de la forme $$D(s)=\sum_{n\geq 1}a_n n^{-s},\ s\in \mathbb C,\ (a_n)\subset\mathbb C^{\mathbb N^*}.$$ À une série de Dirichlet est associée une abscisse de convergence $\sigma_c(f)$ définie par : $$\sigma_c(f)=\inf\left\{\Re e(s):\ \sum_{n\geq 1}a_n n^{-s}\textrm{ converge}\right\}.$$ Par une transformation d'Abel, on peut prouver que si $\Re e(s)>\sigma_c(f),$ alors $D(s)$ converge, alors que si $\Re e(s)<\sigma_c(f),$ la définition de l'abscisse de convergence nous dit que $D(s)$ diverge.

La plus célèbre des séries de Dirichlet est la fonction zêta de Riemann, définie pour $\Re e(s)>1$ par $$\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac 1{n^s}$$