Série numérique

Supposons que $(u_n)$ est une suite de nombres réels ou complexes. On forme les sommes suivantes : $$ S_0=u_0,\ S_1=u_0+u_1,\dots,S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n.$$ On dispose donc d'une nouvelle suite $(S_n)$. On appelle série de terme général $u_n$ la suite (S_n) et on la note $\sum u_n$.

Définition : On dit que est la somme partielle de la série . On dit que la série converge lorsque la suite (S_n) converge. Dans ce cas, est notée et est appelée somme de la série. Sinon, on dit que la série est divergente. Si le terme général ne tend pas vers 0, la série est divergente. Dans ce cas, on dit qu'elle est grossièrement divergente.

Exemple : La série s'appelle série harmonique. On prouve qu'elle diverge par exemple en utilisant le critère de Cauchy. On a en effet : $$S_{2n}-S_n=\sum_{k=n+1}^{2n} \frac 1k\geq \sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2n}=\frac n{2n}\geq \frac 12.$$

La divergence de la série harmonique est un résultat de Nicolas Oresme, au XIViè siècle.