Extension séparable et corps parfait

Soit $\mathbb K$ un corps et $\mathbb L$ une extension algébrique de $\mathbb K$. On dit qu'un élément $a\in \mathbb L$ est séparable sur $\mathbb K$ si son polynôme minimal sur $\mathbb K$ est séparable, c'est-à-dire qu'il est premier avec son polynôme dérivé. On dit que $\mathbb L$ est une extension séparable si tous ses éléments sont séparables sur $\mathbb K$.

Un corps $\mathbb K$ est dit parfait si toutes les extensions algébriques de $\mathbb K$ sont séparables. Ceci revient à dire que tout polynôme irréductible de $\mathbb K[X]$ est séparable.

En particulier, les corps finis sont des corps parfaits. En revanche, $\mathbb K=\mathbb F_p(X)$, corps des fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbb F_p,$ n'est pas parfait : l'extension $L=\mathbb F_p(X^{1/p})$ n'est pas une extension séparable de $\mathbb K$.