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Bibm@th

Espace séparable

Un espace métrique (ou un espace topologique) $E$ est dit séparable s'il existe une partie $D$ de $E$ qui est dénombrable et dense dans $E$.

Exemples :

  • $\mathbb R$ est séparable : $\mathbb Q$ est en effet dense dans $\mathbb R$.
  • Un espace métrique compact $K$ est séparable. Soit en effet $r_n=1/n$. D'après la propriété de Borel-Lebesgue, pour chaque $n$, $K$ est recouvert par un nombre fini $m_n$ de boules de centre $x_{n,i}$, de rayon $r_n$. On considère la réunion des centres de ces boules, pour tout $n\in\mathbb N$, pour tout $i$ dans $\{1,...m_n\}$. Cet ensemble est au plus dénombrable comme réunion dénombrable d'ensembles au plus finis ou dénombrables. On peut donc l'énumérer en une suite qui est clairement dense dans $E$.
  • Si $E$ est un espace métrique séparable, et $F$ est une partie de $E$, alors $F$ est aussi séparable : pour une suite $(x_n)$ dense dans $E$, et la suite $r_n$ décroissante, considérer pour tout couple $(m,n)$ d'éléments un élément $a_{m,n}$ dans l'intersection de $F$ et de la boule de centre $x_m$ de rayon $r_n$ (s'il en existe un). Alors $(a_{m,n})$ est une suite dense dans $F$. Plus généralement, cette preuve démontre qu'un espace métrique précompact est séparable.
  • Tout espace vectoriel normé de dimension finie est séparable.
  • Les espaces de suites $\ell_p(\mathbb N)$, pour $p\in [1,+\infty[$, et $c_0(\mathbb N)$, sont séparables, mais $\ell_\infty(\mathbb N)$ ne l'est pas.
  • Les espaces de fonctions $L^p(\mathbb R^n)$ sont séparables pour $p\in[1,+\infty[$, mais $L^\infty(\mathbb R^n)$ n'est pas séparable.
  • Si $E$ est un espace vectoriel normé dont le dual topologique $E'$ est séparable, alors $E$ est séparable. La réciproque est fausse. Par exemple, $\ell_ 1$ est séparable, alors que son dual topologique $\ell_\infty$ ne l'est pas.
  • Pour tout espace compact $X,$ l'algèbre $C(X)$ des fonctions continues de $X$ dans $\mathbb R$ munie de la norme de la convergence uniforme est séparable si et seulement si $X$ est métrisable.

En analyse fonctionnelle, la séparabilité est liée à des propriétés de métrisabilité de la topologie préfaible (un espace vectoriel normé $X$ est séparable si et seulement si la boule unité de son dual topologique $X'$ est métrisable pour la topologie préfaible).

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