Endomorphisme semi-simple
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme $u$ de $E$ est dit semi-simple si tout sous-espace stable par $u$ admet un supplémentaire stable par $u.$
Théorème :
Un endomorphisme est semi-simple si et seulement son polynôme minimal est sans facteur carré.
En particulier, si $\mathbb K=\mathbb C$, ou plus généralement si $\mathbb K$ est algébriquement clos,
un endomorphisme est semi-simple si et seulement s'il est diagonalisable.
Corollaire :
Un endomorphisme nilpotent est semi-simple si et seulement s'il est nul.
Corollaire :
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il est semi-simple et son polynôme caractéristique est scindé.
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