Semi-norme
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. On appelle semi-norme sur $E$ une application $\mathcal N: E\to\mathbb R_+$ vérifiant $$\forall (x,y)\in E^2,\ \mathcal N(x+y)\leq \mathcal N(x)+\mathcal N(y)$$ $$\forall x\in E,\ \forall \lambda\in\mathbb K,\ \mathcal N(\lambda x)=|\lambda|\mathcal N(x).$$ On obtient une norme si on ajoute la condition $\mathcal N(x)=0\iff x=0$.
Exemples :
- $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ et $\mathcal N(f)=|f(0)|$.
- $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R,\mathbb R)$, $m\geq 0$, $K$ un compact de $\mathbb R$, $\mathcal N(f)=\sup_{x\in K} |f^{(m)}(x)|.$
Recherche alphabétique
Recherche thématique