Théorème des segments emboîtés / des fermés emboîtés
Théorème des segments emboîtés :
Soit $(I_n)$ une suite de segments de $\mathbb R$, $I_n=[a_n,b_n]$.
On suppose que ces segments sont emboîtés, c'est-à-dire que pour tout entier $n$, on a
$I_{n+1}\subset I_n$. Alors il existe un réel $x$ appartenant à tous les $I_n$.
Si de plus la suite $(b_n-a_n)$ tend vers 0, alors ce réel $x$ est unique et donc $\bigcap_n I_n=\{x\}$.
Cette propriété de $\mathbb R$ est très importante, et intimement liée à sa construction. Elle est par exemple équivalente à la propriété de la borne supérieure. Elle se généralise aux espaces métriques complets sous la forme suivante :
Théorème des fermés emboîtés :
Si un espace métrique $(E,d)$ est complet alors,
pour toute suite décroissante $(F_n)$ de fermés non vides de $E$ dont le diamètre tend vers zéro,
l'intersection des $F_n$ est un singleton.
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