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Théorème des segments emboîtés

Théorème des segments emboîtés : Soit $(I_n)$ une suite de segments de $\mathbb R$, $I_n=[a_n,b_n]$. On suppose que ces segments sont emboîtés, c'est-à-dire que pour tout entier $n$, on a $I_{n+1}\subset I_n$. Alors il existe un réel $x$ appartenant à tous les $I_n$. Si de plus la suite $(b_n-a_n)$ tend vers 0, alors $\bigcap_n I_n=\{x\}$.

Cette propriété de $\mathbb R$ est très importante, et intimement liée à sa construction. Elle est par exemple équivalente à la propriété de la borne supérieure.

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