Principe de réflexion de Schwarz
Le principe de réflexion de Schwarz est un théorème d'analyse complexe qui permet de prolonger des fonctions holomorphes définies sur un domaine du demi-plan supérieur à son symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
Principe de réflexion de Schwarz: Soit $U$ un domaine de $\mathbb C$ symétrique par
rapport à l'axe des abscisses,
$U_1=U\cap \{z\in\mathbb C:\ \textrm{Im}(z)>0\}$, $F=U\cap \{z\in\mathbb C:\ \textrm{Im}(z)\geq 0\}$,
et soit $f:F\to\mathbb C$. On suppose que
Alors il existe $g:U\to \mathbb C$ holomorphe telle que $g_{|U_1}=f$.
- $f$ est holomorphe dans $U_1$;
- $f$ est continue sur $F$;
- $f(F\cap \mathbb R)\subset \mathbb R$.
La fonction $g$ est définie, pour $z\in U$ avec $\textrm{Im}(z)<0$, par $g(z)=\overline{f(\bar z)}$, et pour $z\in F$, par $g(z)=f(z)$. On démontre que $g$ est continue sur $U$ puis on utilise le théorème de Morera pour démontrer qu'elle y est en fait holomorphe.
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