Théorème de Schwarz et de Schwarz-Pick (fonctions holomorphes)
Le théorème de Schwarz est un théorème d'analyse complexe qui précise le comportement des fonctions holomorphes qui envoient le disque unité sur lui-même.
Théorème de Schwarz: Soit $f$ une fonction holomorphe dans le disque unité $D=\{z\in\mathbb C:\ |z|<1\}$.
On suppose que $f(0)=0$ et que $|f(z)|\leq 1$ pour tout $z\in D$. Alors :
- On a $|f(z)|\leq |z|$ pour tout $z\in D$ et $|f'(0)|\leq 1$.
- S'il existe $w\in D$, $w\neq 0$, tel que $|f(w)|=|w|$ ou si $|f'(0)|=1$, alors il existe $\lambda\in\mathbb C$ avec $|\lambda|=1$ tel que $f(z)=\lambda z$ pour tout $z\in D$.
Ce théorème est très utile. Il sert par exemple pour déterminer les automorphismes du disque unité. Il admet aussi une version dans le cas où on n'a pas $f(0)=0$.
Théorème de Schwarz-Pick: Soit $f$ une fonction holomorphe du disque unité $D=\{z\in\mathbb C:\ |z|<1\}$
dans lui-même. Alors on a, pour tous $a$ et $z$ de $D$,
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