Espace de Schwartz et distributions tempérées
On dit qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ appartient à l'espace de Schwartz (que l'on note $\mathcal S(\mathbb R)$) si la fonction $f$, ainsi que toutes ses dérivées, sont à décroissance rapide. Autrement dit, $f$ est dans $\mathcal S(\mathbb R)$ si et seulement si $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ et si, pour tout $p\geq 1,$ $$N_p(f)=\sup_{k,j\leq p}\sup_{x\in\mathbb R}|x^k f^{(j)}(x)|<+\infty.$$
L'espace de Schwartz est particulièrement utile lors de l'étude de la transformée de Fourier. On prouve en effet que la transformée de Fourier est un isomorphisme de l'espace de Schwartz dans lui-même. Il est aussi utile pour définir les distributions tempérées : rappelons qu'une distribution est une forme linéaire sur l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support compact. On dit qu'une distribution $u$ est une distribution tempérée s'il existe une constante $C>0$ et un entier $p\geq 1$ tels que $$\forall \varphi\in\mathcal C^\infty_c(\mathbb R),\ |u(\varphi)|\leq CN_p(\varphi).$$
Exemple : Soit $f$ une fonction localement intégrable telle que $|f(x)|<1+|x|^p$. La distribution $u$ associée à $f$ est définie par $$u(\varphi)=\int_{\mathbb R}u(x)\varphi(x)dx.$$ Alors, \begin{align*} |u(\varphi)|&\leq C\int_{\mathbb R}|\varphi(x)|dx+\int_{\mathbb R}|x|^p |\varphi(x)|dx\\ &\leq C'N_p(\varphi). \end{align*}
Par le théorème d'Hahn-Banach, on peut étendre le domaine de définition d'une distribution tempérée à l'espace de Schwartz. Puis, par dualité, on peut encore définir la transformée de Fourier d'une distribution tempérée.
Plus généralement, pour $n\geq 1,$ on peut définir de façon analogue l'espace de Schwartz $\mathcal S(\mathbb R^n)$ comme l'ensemble des fonctions $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^\infty$ et telles que, pour tout $\alpha\in\mathbb N^n,$ pour tout $k\geq 0,$ $$N_{k,\alpha}(f)=\sup_{x\in\mathbb R^n} \|x\|^k |\partial_\alpha f(x)|<+\infty$$ où $\partial_\alpha f=\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial_1^{\alpha_1}\cdots \partial_n^{\alpha_n}}.$ L'ensemble $\mathcal S(\mathbb R^n)$ est un sous-espace de chacun des $L^p(\mathbb R^n)$, pour $p\in[1,+\infty],$ et il est dense dans $L^p(\mathbb R^n)$ pour $p\neq+\infty.$ Par ailleurs, si on munit $\mathcal S(\mathbb R^n)$ de la topologie induite par la famille de semi-normes $N_{k,\alpha},$ alors l'ensemble des fonctions $\mathcal C^\infty$ à support compact est dense dans $\mathcal S(\mathbb R^n).$