$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@thLa technique du saut de puce appliquée à la densité
Le nom de saut de puce est donné à un raisonnement classique de topologie qui permet
par exemple de prouver que l'ensemble des rationnels $\mathbb Q$ est dense dans l'ensemble des réels $\mathbb R$. Voici en quoi il
consiste. Prenez n'importe quel réel $x$, et soit $r$ un autre réel strictement positif. On cherche à
prouver qu'il existe un rationnel $q$ dans l'intervalle $[x-r;x+r]$.
Choisissons d'abord un entier $b$ tel que $0<\frac 1b<r.$ Sans perte de généralité, nous supposons
que $x>0$. Si $\frac 1b$ est dans $[x-r,x+r]$, alors on a gagné. Sinon, on regarde $\frac 2b$ (ie on fait un petit saut). S'il est dans $[x-r,x+r]$, on a gagné.
Sinon, on continue.... et en continuant ainsi, on sûr d'atterrir dans $[x-r,x+r]$. En effet, à chaque fois, on fait un saut de longueur
$\frac 1b$, ce qui est plus petit que la longueur de l'intervalle $[x-r,x+r]$, donc nos sauts de puce ne pourront pas passer "au-dessus" de $[x-r,x+r]$.
Mathématisons un peu tout cela. Soit $A=\{n\in\mathbb N; \frac nb>x+r\}$. Cet ensemble d'entiers
est non vide, donc il admet un plus petit élément, que nous notons $c$. Par définition, $$\frac cb>x+r \textrm{ et } \frac{c-1}b\leq x+r.$$
Il suffit donc de prouver que
$$\frac{c-1}b>x-r.$$
Mais $$\frac{c-1}b>x+r-\frac1b\geq x,$$
puisqu'on a choisi $\frac 1b<r$. Un rationnel possible est donc $\frac{c-1}b$.
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