Théorème de Sarkovskii
Le théorème de Sarkovskii est un théorème portant sur les points périodiques d'une fonction continue sur un intervalle $I$. Rappelons que pour une fonction $f:I\to I,$ $x\in I$ et $n\geq 1,$ $x$ est un point périodique de $f$ de période $n$ si $f\circ \cdots\circ f(x)=x,$ où $f$ apparaît $n$ fois.
La forme la plus simple (et la plus populaire) du théorème de Sarkovskii est la suivante :
Théorème :
Soit $f:I\to I$ continue admettant un point périodique de période $3$. Alors pour tout $n\geq 1,$
$f$ admet un point périodique de période $n.$
Ce théorème est parfois connu sous la forme $$3-\textrm{cycle}\implies\textrm{chaos}.$$
Pour la version complète du théorème de Sarkovskii, on a besoin de la notion d'ordre de Sarkovskii. Pour cet ordre, les entiers sont rangés
- d'abord en considérant les entiers impairs à partir de $3,$ rangés par ordre classique croissant : $3,5,7,\dots$
- ensuite en considérant les entiers qui s'écrivent $2p$, où $p$ est impair supérieur ou égal à $3$ : $6,10,\dots,$
- ensuite en considérant les entiers qui s'écrivent $4p$, où $p$ est impair supérieur ou égal à $3$ : $12,20,\dots$
- et ainsi de suite...
- finalement, les entiers les plus grands pour cet ordre sont les puissances de $2$.
Théorème :
Soit $f:I\to I$ continue admettant un point périodique de période $m$. Alors pour tout entier naturel $n$
supérieur ou égal à $m$ dans l'ordre de Sarkovskii, $f$ admet un point périodique de période $n.$
Ce théorème est dû au mathématicien ukrainien Oleksandr Mykolayovych Sarkovskii en 1964.
Son nom est parfois écrit Sharkovskii, Sharkovsky, Sharkovskiy ou encore Šarkovskii's!
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