Antinomie de Russell
A la fin du XIXè siècle, le besoin de faire reposer les mathématiques sur des fondations solides se fait sentir : Frege étaie l'arithmétique sur la logique, Cantor élabore la théorie des ensembles : un ensemble regroupe des objets qui vérifient une propriété donnée. En 1902, dans cette théorie "naïve" des ensembles, le mathématicien anglais Bernard Russell décèle une contradiction. Il définit l'ensemble A des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes, et pose la question suivante : est-ce que A appartient à A???
- si oui, A appartient à A, mais par définition, c'est impossible.
- si non, A n'appartient pas à A, mais alors, par définition, A appartient à A : c'est impossible!
Quelques années plus tard, en 1919, Russell publiera une version populaire de son antinomie, connue sous le nom de paradoxe du barbier : définissons le barbier du village comme le villageois qui rase les gens qui ne se rasent pas eux-mêmes. Qui rase le barbier? S'il se rase lui-même, c'est donc le barbier qui le rase, mais par définition, le barbier ne rase que les villageois qui ne se rasent pas eux-mêmes! Impossible donc... C'est donc un autre villageois qui rase le barbier. Mais, toujours par définition du barbier, c'est lui qui doit le raser! Contradiction!
Plus sérieusement, ce type de paradoxes a conduit les mathématiciens à réfléchir à la définition d'un ensemble, et plus particulièrement Russell à élaborer la théorie des types.
Pour mesurer l'impact du paradoxe de Russell, on peut se référer à la post-face
du second volume des Lois fondamentales de l'arithmétique, publié par Frege en 1903 : "Un auteur scientifique
ne peut rencontrer plus rien de plus embarassant que ce qui, après achèvement d'un travail, vient ébranler l'une des
fondations de sa construction. Une lettre de Bertrand Russell m'a confronté à cette situation, alors que l'impression
du présent volume touchait à sa fin...".