$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Transformations >

Rotation

Dans le plan

Dans le plan euclidien, on appelle rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$ la transformation qui à tout point $M$ du plan associe le point $M'$ tel que $$\left\{ \begin{array}{l} AM=AM'\\ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})=\theta. \end{array}\right.$$

Une rotation est une isométrie directe. En particulier, elle conserve les distances et les angles orientés.

Dans l'espace

Dans l'espace euclidien, on appelle rotation d'axe $D$ et d'angle $\theta$ la transformation qui à tout point $M$ du plan associe le point $M'$ défini par : si $P$ est le plan orthogonal à $D$ passant par $M$ et $A$ est le point d'intersection entre $D$ et $P,$ alors $M'$ est l'image de $M$ dans la rotation plane dans $P$ de centre $A$ et d'angle $\theta.$

Cas général

Les rotations planes ou dans l'espace sont les seules isométries directes. Ceci justifie la définition suivante : Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. On appelle rotation de $E$ tout élément du groupe spécial orthogonal, c'est-à-dire toute isométrie de $E$ de déterminant 1.

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