Théorème de Rolle

Le théorème de Rolle permet d'établir le théorème des accroissements finis, et à ce titre il est à la base des relations liant la croissance d'une fonction et le signe de sa dérivée. Il est aussi lié à des problèmes de séparation de racines de polynômes.

Exemple : Soit $ P\in\mathbb {R}[X]$ scindé et $ \lambda\in\mathbb {R}$. Alors $ P'+\lambda P$ est scindé.

En effet, on note $n$ le degré de $P$, $x_1<\dots<x_p$ ses racines distinctes, de multiplicité respective $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ avec donc $\alpha_1+\dots+\alpha_p=n$. Chaque $x_i$ est encore racine de $P'$ de multiplicité $\alpha_i-1$, et donc de $P'+\lambda P$ de multiplicité $\alpha_i-1$. On a donc trouvé $\alpha_1-1+\dots+\alpha_p-1=\alpha_1+\dots+\alpha_p-p$ racines, comptées avec leur multiplicité.

On va trouver maintenant $p-1$ autres racines. Plus précisément, on va en trouver une dans chaque intervalle $]x_i,x_{i+1}[$, avec $i=1,\dots,p-1$. En effet, posons $f(x)=P(x)e^{\lambda x}$. $f$ est continu sur $[x_i,x_{i+1}]$, dérivable sur $]x_i,x_{i+1}[$ et on a $f(x_i)=f(x_{i+1})=0$. Par le théorème de Rolle, il existe $y_i\in]x_i,x_{i+1}[$ tel que $f'(y_i)=0$. Or, $f'(x)=(P'(x)+\lambda P(x))e^{\lambda x}$. Puisque la fonction exponentielle ne s'annule pas, $y_i$ est racine de $P'+\lambda P$.

On a donc obtenu une factorisation de $P'+\lambda P$ sous la forme $$P'+\lambda P=\prod_{i=1}^p (X-x_i)^{\alpha_i-1}\prod_{i=1}^{p-1}(X-y_i)Q(X).$$ Remarquons de plus que $\sum_{i=1}^p (\alpha_i-1)+(p-1)=n-1$. Ainsi, si $\lambda=0$, $P'+\lambda P$ est de degré $n-1$ et on a bien prouvé que $P'+\lambda P$ est scindé. Si $\lambda\neq 0$, alors $P'+\lambda P$ est de degré $n$, et on en déduit que le degré de $Q$ vaut $1$, c'est à dire que $Q(X)=a(X-z).$ Là encore, on a prouvé que $P'+\lambda P$ est scindé.

Michel Rolle était un pourfendeur du calcul différentiel inventé à son époque par Leibniz et Newton. Ses débats avec Varignon à ce propos sont restés célèbres. Il est amusant de constater qu'il est resté célèbre par un résultat concernant le calcul différentiel. Cela dit, il n'avait énoncé son résultat que pour des polynômes. C'est Giusto Bellavitis qui donna le nom de théorème de Rolle au théorème que l'on connait maintenant.