Théorème de réarrangement de Riemann

Si $\sum_n u_n$ est une série de réels absolument convergente, alors elle est commutativement convergente : pour toute permutation $\sigma$ de $\mathbb N$, alors la série $\sum_n u_{\sigma(n)}$ converge. De plus, on a $$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\sum_{n=0}^{+\infty}u_{\sigma(n)}.$$ Cette propriété devient fausse pour les séries semi-convergentes, dans un sens très fort, comme le montre le théorème de réarrangement de Riemann suivant :

On peut bien sûr définir la notion de série commutativement convergente pour une série à valeurs dans un espace vectoriel normé. On dit aussi qu'une telle série est inconditionnellement convergente. On prouve alors que toute série absolument convergente dans un espace de Banach $X$ est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si $X$ est de dimension finie.