Lemme de Riemann-Lebesgue

Soit $I$ un intervalle et $f:I\to\mathbb C$ intégrable. Alors $$\lim_{n\to\pm\infty}\int_I f(t)\cos(nt)dt=0\textrm{ et }\lim_{n\to\pm\infty}\int_I f(t)\sin(nt)dt=0.$$ Ce lemme permet de démontrer la décroissance vers 0 des coefficients de Fourier. Il est particulièrement facile à prouver si $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[a,b]$ : il suffit de réaliser une intégration par parties!

Plus généralement, sous les mêmes hypothèses, $$\lim_{x\to\pm\infty}\int_I f(t)e^{-ixt}dt=0.$$