Des séries à l'hypothèse de Riemann

La série de Riemann est la série de terme général $$u_n=\frac1{n^\alpha},\ \alpha\in\mathbb R.$$ Elle converge si et seulement si $\alpha>1$, et dans ce cas on a même convergence absolue. On note $\zeta$ sa somme, qu'on appelle fonction zêta de Riemann. On peut en fait définir cette fonction pour un complexe $s$ tel que $\Re e(s)> 1$ : $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^s}.$$ La série ci-dessus converge en effet absolument si $\Re e(s)>1$ et diverge si $\Re e(s)<1.$ La fonction $\zeta$ est alors une fonction holomorphe dans le demi-plan $\{s\in\mathbb C:\ \Re e(s)> 1\}$. On peut prouver de plus que $\zeta$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\mathbb C\backslash\{1\}$.

La fonction zêta est un objet surprenant : on a par exemple $$\zeta(2)=\frac{\pi^2}6\textrm{ et }\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}.$$ En revanche, on ne sait presque rien de la valeur de zêta pour les entiers impairs, sauf un résultat d'Apery qui affirme que $\zeta(3)$ est irrationnel, et un résultat très récent de Rivoal qui affirme qu'il en est ainsi pour une infinité de valeurs d'entiers impairs. Surtout, la fonction zêta est reliée aux nombres premiers par l'identité d'Euler, qui affirme que : $$\zeta(s)=\prod_{p\textrm{ premier}}\frac1{1-p^{-s}}.$$

L'étude des zéros de la fonction zêta est particulièrement importante. Parmi ces zéros, on trouve des zéros triviaux, comme -2,-4,-6,... Les autres sont l'objet de l'hypothèse de Riemann, qui a conjecturé qu'ils se situaient tous sur la droite $\Re e(s)=1/2$. Une réponse affirmative à cette conjecture donnerait de précieux renseignements quant à la localisation des nombres premiers. Ce problème faisait déjà partie de la liste des 23 problèmes de Hilbert présentés au IIè congrès mondial des mathématiciens en 1900. Non résolu au XXè s., il figure encore parmi la liste des 7 problèmes du millénaire dont la résolution est primée 1 million de dollars par la fondation Clay.