Résultant et discriminant
Soit $P$ un polynôme non nul de degré $p$, et $Q$ un polynôme non nul de degré $q$, tous deux à coefficients dans un anneau commutatif (ou un corps) : $$P(X)=a_p X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\dots+a_0,\ Q(X)=b_q X^q+\cdots+b_0.$$ La matrice de Sylvester de $P$ et $Q$ est la matrice carrée d'ordre $p+q$ suivante : $$\begin{pmatrix} a_0&0&\dots&0&b_0&0&\dots&\ddots&0\\ a_1&a_0&\ddots&0&b_1&b_0&\ddots&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&a_0&b_q&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_p&\vdots&\ddots&a_1&0&\ddots&\ddots&\vdots&b_0\\ 0&a_p&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&b_{q-1}\\ 0&\dots&0&a_p&0&\dots&\dots&0&b_q \end{pmatrix} $$ Il faut ici comprendre que les coefficients du polynôme $P$ sont écrits en colonne, puis répétés $q$ fois en décalant d'un cran vers le bas. On fait de même ensuite avec les coefficients de $Q$, qui sont eux répétés $p$ fois.
Le résultant de $P$ et $Q$, noté $\textrm{res}(P,Q)$, ou $R(P,Q),$ est le déterminant de cette matrice. C'est une quantité importante, car elle permet de décider si deux polynômes $P$ et $Q$ ont un facteur commun :
Le théorème précédent reste vrai si on remplace le corps $\mathbb K$ par un anneau factoriel.
Le résultat vérifie les propriétés suivantes : $$\textrm{res}(Q,P)=(-1)^{p+q}\textrm{res}(P,Q)$$ $$\forall \lambda,\mu\in\mathbb K,\ \textrm{res}(\lambda P,\mu Q)=\lambda^q \mu^p\textrm{res}(P,Q).$$
Soit $P=a_pX^p+a_{p-1}X^{p-1}+\dots+a_0$, avec $p>1$. On appelle discriminant de $P$ la quantité $$\textrm{dis}(P)=(-1)^{p(p-1)/2}a_p^{-1}\textrm{Res}(P,P').$$
Si $P(X)=aX^2+bX+c$, et si le corps est de caractéristique nulle, on a l'expression classique $$\textrm{dis}(P)=b^2-4ac.$$ Pour $p>2$, on ne peut malheureusement pas exprimer les racines de $P$ en fonction de son discriminant. En revanche, le discriminant est un outil pour savoir si $P$ et $Q$ ont des racines multiples :