$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résidu

Définition : Soit $f$ une fonction holomorphe dans un voisinage de $a\in\mathbb C$, sauf éventuellement en $a$. Pour $r$ assez petit, on note $C_r$ le cercle de centre $a$ et de rayon $r.$ Alors les intégrales $$\frac1{2i\pi}\int_{C_r}f(z)dz$$ sont indépendantes de $r$. La valeur commune de ces intégrales est appelé résidu de $f$ en $a$, et est noté $\textrm{Res}(f,a)$.

On ne calcule pas en général le résidu de $f$ en $a$ par cette formule, mais on démontre que $\textrm{Res}(f,a)$ est aussi le coefficient devant $1/(z-a)$ dans le développement en série de Laurent de $f$ en $a$. Pour calculer pratiquement le résidu de $f$ en $a$, on réalise donc un développement asymptotique en $a$, pour obtenir devant le terme en $1/(z-a)$.

Théorème : Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé $U\subset\mathbb C,$ sauf aux points d'un ensemble $S$ de singularités isolées. Soit $C$ un circuit tracé dans $U,$ et ne rencontrant pas $S.$ Alors $$\frac{1}{2i\pi}\int_C f(z)dz=\sum_{a\in S}\textrm{ind}(C,a)\textrm{Res}(f,a).$$

Le théorème des résidus, qui n'est finalement rien d'autre qu'une version particulièrement flexible de la formule de Cauchy, a de très nombreuses applications : calculs d'intégrales, principe de l'argument, théorème de Rouché, théorème de l'image ouverte, théorème d'inversion locale. L'hypothèse que l'ouvert $U$ est étoilé peut être nettement étendue : on peut supposer que $U$ est simplement connexe.

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