Résidu
On ne calcule pas en général le résidu de $f$ en $a$ par cette formule, mais on démontre que $\textrm{Res}(f,a)$ est aussi le coefficient devant $1/(z-a)$ dans le développement en série de Laurent de $f$ en $a$. Pour calculer pratiquement le résidu de $f$ en $a$, on réalise donc un développement asymptotique en $a$, pour obtenir devant le terme en $1/(z-a)$.
Le théorème des résidus, qui n'est finalement rien d'autre qu'une version particulièrement flexible de la formule de Cauchy, a de très nombreuses applications : calculs d'intégrales, principe de l'argument, théorème de Rouché, théorème de l'image ouverte, théorème d'inversion locale. L'hypothèse que l'ouvert $U$ est étoilé peut être nettement étendue : on peut supposer que $U$ est simplement connexe.