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Représentation de groupe

Une représentation de groupes est un moyen de voir un groupe comme un groupe de matrices inversibles, dans le but de comprendre certaines propriétés du groupe à l'aide des propriétés des matrices associées.

Définition : Soit $G$ un groupe et $V$ un espace vectoriel. On appelle représentation du groupe $G$ dans $V$ tout morphisme de $G$ dans $GL(V)$, c'est-à-dire toute application $\rho:G\to GL(V)$ vérifiant $\rho(g_1g_2)=\rho(g_1)\circ \rho(g_2)$ pour tous $g_1,g_2\in G$.

Le plus souvent, on travaille avec un groupe $G$ fini et un espace vectoriel $V$ de dimension finie (ce que nous supposerons dans la suite). Fixons quelques définitions associées :

  • une représentation $\rho:G\to GL(V)$ est dite fidèle si $\rho$ est un morphisme injectif.
  • le degré de la représentation est la dimension de $V$.
  • si $W$ est un sous-espace de $V$ stable pour tous les éléments de $\rho(G)$, alors on peut définir une application $\rho_W:G\to GL(W),\ g\mapsto \rho(G)_{|W}$ qui est un morphisme de groupes. La représentation $\rho_W:G\to GL(W)$ s'appelle alors une sous-représentation de $\rho:G\to GL(V).$
  • la somme directe d'une famille de représentations $\rho_i:G\to V_i$ (du même groupe $G$) est la représentation $\rho$ de $G$ sur $\oplus_i V_i$ en posant $\rho(g)=\oplus_i \rho_i(g)$.
  • un morphisme de la représentation $\rho:G\to V$ vers la représentation $\sigma:G\to W$ est une application linéaire $\varphi:V\to W$ vérifiant la relation d'entrelacement $\varphi\circ\rho(g)=\sigma(g)\circ\varphi$ pour tout $g\in G$.
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