Fonctions continues par morceaux, fonctions $C^k$ par morceaux
Définition : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction. On dit que $f$ est continue par morceaux
s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, si on pose $g_i=f_{|]a_i,a_{i+1}[}$,
alors $g_i$ se prolonge en une fonction continue à tout l'intervalle $[a_i,a_{i+1}]$.
Autrement dit, $f$ est continue par morceaux s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, $f$ est continue sur l'intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ et $f$ admet une limite à gauche et une limite à droite (éventuellement différentes) en chaque $a_i$.
Plus généralement, $f:[a,b]\to\mathbb R$ est de classe $\mathcal C^k$ par morceaux
s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, si on pose $g_i=f_{|]a_i,a_{i+1}[}$,
alors $g_i$ se prolonge en une fonction $\mathcal C^k$ à tout l'intervalle $[a_i,a_{i+1}]$.
Si maintenant $f$ est définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$ qui n'est plus nécessairement un segment, alors on dit que $f$ est de classe $\mathcal C^k$ par morceaux sur $I$ si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans $I$.
Les fonctions $\mathcal C^k$ par morceaux interviennent par exemple dans les théorèmes de convergence des séries de Fourier,
ou dans certaines constructions de l'intégrale.
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