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Fonction réglée

Une fonction $f:[a,b]\to\mathbb R$ est dite réglée si elle possède une limite à droite en $a$, une limite à gauche en $b$, et une limite à droite et à gauche en tout point de $]a,b[$.

Il n'est pas difficile de démontrer qu'une fonction réglée est bornée. Il est en revanche plus difficile de caractériser les fonctions réglées parmi les fonctions bornées. Ceci peut être fait grâce au théorème suivant :

Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction bornée. Alors $f$ est réglée si et seulement si $f$ est limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de fonctions en escalier.

Ce théorème est fondamental dans la théorie de l'intégration de Riemann. On commence à y définir l'intégrale des fonctions en escalier. On en déduit l'intégrale d'une fonction réglée par passage à la limite.

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