Règle de d'Alembert
La règle de d'Alembert est une règle qui permet de déterminer la nature de certaines séries, en particulier des séries dont le terme général fait apparaître des puissances, des factorielles....
Théorème :
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annule pas à partir d'un certain rang.
On suppose que $\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}\to\ell$. Alors :
- si $\ell< 1$, la série $\sum_n u_n$ converge absolument;
- si $\ell>1$, la série $\sum_n u_n$ diverge grossièrement;
- si $\ell=1$, on ne peut pas conclure.
La règle de d'Alembert est en particulier très utilisée pour les séries entières, cadre où elle s'énonce ainsi :
Théorème :
Soit $\sum_n a_n z^n$ une série entière telle que la suite $(a_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang. Si $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ admet une limite, alors le rayon de convergence
$R$ de la série entière vaut $\frac 1R=\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$
On peut donner un énoncé un peu plus précis dans l'énoncé de la règle de d'Alembert en introduisant les limites inférieure et supérieure du quotient $|u_{n+1}|/|u_n|$ : si on note $L=\limsup_n |u_{n+1}|/|u_n|$ et $\ell=\liminf_n |u_{n+1}|/|u_n|,$ alors :
- si $L<1,$ la série $\sum_n u_n$ converge absolument;
- si $\ell>1,$ la série $\sum_n u_n$ diverge grossièrement.
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