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Réduction de Jordan

La réduction de Jordan d'une matrice (ou d'un endomorphisme) est la réduction la plus poussée que l'on peut obtenir en général lorsque le polynôme caractéristique est scindé. Dans la suite, $\mathbb K$ désigne un corps commutatif.

Pour $\lambda\in \mathbb K$ et $p\geq 1$, on appelle matrice de Jordan (ou bloc de Jordan) de valeur propre $\lambda$ et de taille $p$ la matrice carrée de $\mathcal M_p(\mathbb K)$ donnée par $$J_p(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda&1&\dots&0\\ 0&\lambda&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\dots&0&\lambda \end{pmatrix}.$$ On note désormais $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $u$ un endomorphisme de $E$.

Théorème : Si le polynôme caractéristique de $u$ est scindé sur $\mathbb K,$ alors il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ s'écrit $$\begin{pmatrix} J_{k_1}(\lambda_1)&0&\dots&0\\ 0&J_{k_2}(\lambda_2)&0&\dots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&J_{k_s}(\lambda_s) \end{pmatrix}$$ où les scalaires $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ sont les valeurs propres de $u.$ De plus, deux matrices représentant $u$ de la forme précédente sont égales, à l'ordre des blocs de Jordan près. On appelle cette matrice la réduite de Jordan de $u.$

Il faut faire attention que dans le théorème précédent, il peut y avoir plusieurs blocs de Jordan pour la même valeur propre. Plus précisément, pour $\lambda$ une valeur propre de $u$ :

  • la multiplicité algébrique de $\lambda$ (sa multiplicité dans le polynôme caractéristique) est égale à la dimension du sous-espace caractéristique associé, ou encore à la somme des tailles des blocs $J_k(\lambda).$
  • la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme minimal est égale à la taille du plus grand des blocs $J_k(\lambda).$
  • la multiplicité géométrique de $\lambda$ (c'est-à-dire la dimension du sous-espace propre associé) est égale au nombre des blocs $J_k(\lambda).$
Corollaire : Deux endomorphismes de $E$ sont semblables si et seulement s'ils ont la même réduite de Jordan (toujours à l'ordre des blocs de Jordan près).

Le théorème précédent ne nécessite pas que $\mathbb K$ est algébriquement clos pour que le polynôme caractéristique d'un endomorphisme de $E$ soit scindé. On peut en effet travailler dans une clôture algébrique $\mathbb L$ de $\mathbb K,$ qui existe toujours d'après le théorème de Steinitz, et utiliser que deux matrices sont semblables sur $\mathbb L$ si et seulement si elles sont semblables sur $\mathbb K.$

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