Longueur d'une courbe - Arc rectifiable
La définition de la longueur d'une courbe $\mathcal C$ est fondée sur le principe suivant : le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est la ligne droite. Si on a une courbe d'extrémités $A$ et $D,$ et si $B$ et $C$ sont deux points sur la courbe, il est naturel que la longueur de la courbe soit supérieure ou égale à $AB+BC+CD.$ En outre, plus on prend de points sur la courbe, plus la somme des longueurs des segments joignant ces points sera une bonne approximation de la longueur de la courbe.
La définition de la longueur d'une courbe associée à un arc paramétré suit ces idées : soit $\mathcal C=(I=[a,b],f)$ un arc paramétré. Pour $\sigma$ une subdivision de $[a,b]$ donnée par $t_0=a<t_1<\cdots<t_n=b,$ on note $$L(\sigma)=\sum_{i=0}^{n-1}\left\|\overrightarrow{f(t_i)f(t_{i+1})}\right\|.$$ On dit que $\mathcal C$ est rectifiable si $\{L(\sigma):\ \sigma\textrm{ subdivision de }[a,b]\}$ est majoré. Dans ce cas, on appelle longueur de $\mathcal C$ la borne supérieure de cet ensemble.
Bien sûr, la définition précédente ne donne pas vraiment de méthode pratique pour calculer la longueur d'une courbe. Heureusement, quand l'arc est de classe $\mathcal C^1,$ cela peut se faire grâce au théorème suivant :
En particulier, si l'arc est donné en coordonnées cartésiennes $(x(t),y(t)),$ sa longueur est $$\int_a^b \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt.$$ Si l'arc est donné en coordonnées polaires, sa longueur est $$\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}d\theta.$$