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Étude locale d'une courbe paramétrée

Soit $(I,f)$ un arc paramétré de classe $\mathcal C^n$ et soit $t_0$ appartenant à $I$. On suppose qu'il existe deux vecteurs $f^{(k)}(t_{0})$ et $f^{(l)}(t_{0})$, $k,l\geq 1,$ qui sont linéairement indépendants. On note alors : \begin{eqnarray*} p&=&\min\{k\in\{1,\dots,n\},\ f^{(k)}(t_0)\neq 0\}\\ q&=&\min\{k\in\{p+1,\dots,n\},\ (f^{(p)}(t_0),f^{(k)}(t_0))\textrm{ est libre}\}. \end{eqnarray*} Alors $p$ et $q$, ainsi que les vecteurs correspondants $f^{( p)}(t_{0})$ et $f^{(q)}(t_{0})$ déterminent le comportement local de la courbe paramétrée au voisinage du point $M=M(t_{0})$. D'une part, la courbe paramétrée admet en $M(t_{0})$ une tangente de vecteur directeur $f^{(p )}(t_{0})$. D'autre part, suivant la parité de $p$ et $q$, on a les cas suivants :

  • $p$ est impair et $q$ est pair (typiquement $p=1$ et $q=2$). $M(t_{0})$ est alors un point ordinaire, et la courbe a l'allure suivante :

  • $p$ est impair et $q$ est impair : la courbe traverse sa tangente en $M(t_{0})$ qui est un point d'inflexion.

  • $p$ est pair et $q$ est impair : la courbe fait "demi-tour" en $M(t_{0})$ en traversant sa tangente : $M(t_{0})$ est un point de rebroussement de première espèce.

  • $p$ est pair et $q$ est pair : la courbe fait "demi-tour" en $M(t_{0})$ en restant du même côté que sa tangente : $M(t_{0})$ est un point de rebroussement de seconde espèce.

En général, les entiers $p$ et $q$ et les vecteurs associés sont déterminés non pas un dérivant successivement $f$, mais en effectuant un développement limité au voisinage des points où $f'(t)=0$.

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