Quotient de Rayleigh

Le quotient de Rayleigh d'une matrice symétrique (ou hermitienne) $A$ est la fonction défine sur $\mathbb R^n$ par $$R_A(x)=\frac{\langle Ax,x\rangle}{\|x\|^2}.$$ L'importance de cette fonction réside dans le fait que ses points critiques sont exactement les vecteurs propres de $A$, et que la valeur prise par $R_A$ en un point critique vaut la valeur propre associée.

Ces propriétés sont à l'origine d'un algorithme pour déterminer les valeurs propres de A et une base de vecteurs propres associés. On commence par minimiser le quotient de Rayleigh sur tout l'espace. Ceci donne la plus petite valeur propre (en module) et un vecteur propre associé. On considère ensuite la restriction de la fonction à l'orthogonal du vecteur propre trouvé, et on minimise à nouveau cette fonction, mais simplement sur cet orthogonal. Ceci donne la deuxième valeur propre la plus petite en module, puis on itère le procédé.