Radical d'un idéal
Dans un anneau commutatif $A$, on appelle radical d'un idéal $I$ l'ensemble des éléments $x$ de $A$ tels qu'il existe une puissance de $x$ qui appartient à $I$ : $$\textrm{rad}(I)=\{x\in A;\ \exists n\geq 1,\ x^n\in I\}.$$ Le radical d'un idéal est lui-même un idéal. On dit alors qu'un idéal est radiciel s'il est égal à son radical.
Le radical d'un idéal possède les propriétés suivantes :
- Un idéal $I$ est inclus dans son radical.
- Si $I\subset J$, alors $\textrm{rad}(I)\subset \textrm{rad}(J)$.
- $\textrm{rad}(\textrm{rad}(I))=\textrm{rad}(I)$ (autrement dit, le radical d'un idéal est radiciel).
- $\textrm{rad}(IJ)=\textrm{rad}(I\cap J)=\textrm{rad}(I)\cap \textrm{rad}(J).$
- Pour tout entier naturel $p\geq 1$, $\textrm{rad}(I^p)=\textrm{rad}(I).$
- $\textrm{rad}(I)+\textrm{rad}(J)\subset \textrm{rad}(I+J).$
- Un idéal premier est radiciel (la réciproque est fausse).
- $I$ est radiciel si et seulement si $A/I$ est réduit (i.e. son seul élément nilpotent est $0$).
- Le radical d'un idéal propre $I$ est égal à l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I.$
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