Racine n-ième d'un nombre complexe
Racine n-ième
Si $w$ est un nombre complexe, on appelle racine $n$-ième de $w$ tout nombre complexe $z$ tel que $z^n=w$.
- Si $w$ est nul, alors il admet exactement une racine $n$-ième, lui-même.
- Si $w$ est non nul, il admet exactement $n$ racines $n$-ièmes distinctes. Pour les déterminer, on utilise l'écriture trigonométrique de $w$ : si $w=\rho e^{i\theta}$, ses racines $n$-ièmes sont $$\rho^{1/n}e^{i\left(\frac\theta{n}+\frac{2k\pi}n\right)},\ 0\leq k\leq n-1.$$
Racines n-ièmes de l'unité
On appelle racine $n$-ième de l'unité tous les nombres complexes $z$ vérifiant $z^n=1$. Ce sont donc les nombres complexes $w_0,\dots,w_{n-1}$ s'écrivant $w_k=\exp\left(\frac{2ik\pi}n\right).$
L'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité possède une structure algébrique particulière. Il s'agit d'un groupe cyclique. Une racine $w_k$ est un générateur de ce groupe cyclique si et seulement si $k$ et $n$ sont premiers entre eux. Ces racines sont alors appelées racines n-ièmes primitives de l'unité.
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