Racine carrée et racine $n$-ème d'un nombre réel
Si $x$ est un réel, on appelle racine $n$-ème de $x$ l'unique réel $y$ tel que $y^n=x.$ Lorsque $n$ est pair, ceci n'a un sens que si $x$ est un réel positif. Lorsque $n$ est impair, on peut définir la racine $n$-ème de n'importe quel réel, puisque la fonction $x\mapsto x^n$ est alors une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$.
La racine $n$-ème de $x$ est notée $\sqrt[n]{x}.$ Lorsque $n=2$, on parle de racine carrée et on note $\sqrt x$. Pour $n=3$, on parle de racine cubique.
On apprenait autrefois (il y a bien longtemps) à extraire des racines carrées. Faisons-le sur un exemple : soit à calculer une valeur approchée de la racine carrée de 5571926. On adopte une disposition semblable à celle que l'on adopte quand on pose une division, en écrivant ici 5571926 à la place du dividende.
 | Etape 1 : on partage le nombre en paquets de 2 chiffres, en commençant par la droite. Le dernier paquet peut comporter un (comme ici) ou deux chiffres. |
 | Etape 2 : on cherche le plus grand carré inférieur à la première tranche, et on inscrit sa racine à la place du diviseur. Ici 4 est le plus grand carré inférieur à 5. |
 | Etape 3 : on soustrait ce carré, et on abaisse les 2 chiffres suivants. |
 | Etape 4 : on multiplie par 2 le nombre situé à la place du diviseur. Ici, on trouve 4, et on écrit dans l'espace du quotient : 4.×.=. |
 | Etape 5 : on cherche le plus grand chiffre possible t tel que 4t×t soit encore inférieur au reste (ici 157). Le chiffre qui convient est 3. |
 | Etape 6 : on inscrit le chiffre trouvé à la droite du diviseur, et on soustrait 4t×t au reste. On abaisse les 2 chiffres suivants, et on recommence à l'étape 4. |
La suite des calculs donne :
Une valeur approchée par défaut de la racine carrée de 5571926 est 2360. Si on voulait des chiffres après la virgule, on continuerait en abaissant des blocs de doubles zéros.
La racine carrée n'inspire pas que les mathématiciens.
Elle peut être aussi la muse des poètes, pour donner cette chansonette de Boris Vian :
Il y a des racines de tout' les formes
Des pointues, des rond' et des difformes
Cell' de la guimauve est angélique
Il y a un Racin' qui est classique
Et la mandragore est diabolique
Mêm' s'il nous bassin' on n'y peut plus rien
Mais la racine que j'adore
Et qu'on extrait sans effort-eu
La racin'carrée c'est ma préférée...