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Groupe des quaternions

On appelle groupe des quaternions le groupe à 8 éléments engendré par 3 éléments $i,j,k$ et dont la table de multiplication est donnée par :

  • $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$.
  • $ij=-ji=k,\ jk=-kj=i,\ ki=-ik=j$.

Il s'agit d'un groupe à 8 éléments dont tous les sous-groupes propres sont cycliques; c'est aussi le seul sous-groupe à 8 éléments non commutatif, hormis le groupe diédral à 8 éléments.

On peut aussi décrire le groupe des quaternions comme groupe de matrices. Si on prend les deux matrices de $GL_2(\mathbb C)$ $$A=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\quad\textrm{et}\quad B=\begin{pmatrix}i&0\\ 0&-i \end{pmatrix}, $$ l'ensemble $H_8=\{\pm I_2,\pm A,\pm B,\pm AB\}$ est un sous-groupe de $GL_2(\mathbb C)$ à 8 éléments qui vérifie les propriétés précédentes.

Proposition : Le centre et le groupe dérivé du groupe des quaternions sont égaux à $\{-1, +1\}$. Son groupe des automorphismes est isomorphe à $S_4.$
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