Fonctions puissance
Si $\alpha$ est un nombre réel, on appelle fonction puissance d'exposant $\alpha$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $v(x)=x^\alpha=\exp(\alpha\ln(x)).$ Son domaine de définition est $\mathbb R_+^*$. Si $\alpha>0,$ alors $v$ admet un prolongement par continuité en $0$ en posant $v(0)=0$. Si $\alpha=n$ est un entier, cette définition coïncide avec la définition classique de $x^n$, et on peut définir la fonction sur $\mathbb R$ tout entier. Si $\alpha=1/n$ avec $n\in\mathbb N^*$, cette définition coïncide avec celle de la racine $n$-ème et on peut définir la fonction sur $\mathbb R$ lorsque $n$ est impair.
Les fonctions puissances vérifient les propriétés suivantes :
- Elles sont dérivables sur $]0,+\infty[$ : pout tout $x>0,$ on a $v'(x)=\alpha x^{\alpha-1}.$
- La fonction $x^\alpha$ est croissante sur $[0,+\infty[$ si $\alpha>0$, décroissante si $\alpha<0$, constante si $\alpha=0$.
- Limites aux bornes :
- si $\alpha>0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=0$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$;
- si $\alpha<0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=0$;
- Propriétés algébriques : pour tous $\alpha,\beta\in\mathbb R$, pour tout $x>0$, on a $$(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha,\ x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta,\ (x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}.$$
- Courbe représentative :
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