Pseudoinverse
Soit $M$ une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes. On appelle pseudoinverse de $M$ toute matrice $M^+$ à $p$ lignes et $n$ colonnes telle que $$MM^+M=M\textrm{ et }M^+MM^+=M^+.$$ Ceci ne définit pas la pseudoinverse de M de façon unique. Si on ajoute les deux conditions $$(MM^+)^*=MM^+\textrm{ et }(M^+M)^*=M^+M$$ alors il existe une unique matrice $M^+$ qui vérifie les conditions précédentes. On l'appelle alors souvent pseudoinverse de Moore-Penrose.
Lorsque $M^*M$ est inversible, la pseudoinverse est donnée par la formule : $$M^+=(M^*M)^{-1}M^*=M^*(M^*M)^{-1}.$$ La pseudoinverse intervient notamment pour donner une solution de norme minimale à un système d'équations où il y a plus d'équations que d'inconnues.
Théorème : Soit $M\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb C)$ telle que $M^*M$ soit inversible. Alors
pour tout $b\in\mathbb C^n$, la solution de $Mx=b$ de norme euclidienne minimale est donnée par $M^+b$.
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