Théorème de prolongement des applications uniformément continues
Théorème :
Soit $E$ et $F$ deux espaces métriques.
On suppose que $F$ est complet. Soit $A$ une partie dense de $E$ et $f$ une application uniformément continue de $A$ dans $F.$
Il existe une unique application continue $g : E \to F$ dont la restriction à $A$ vaut $f.$
De plus, $g$ est uniformément continue.
Grâce à ce théorème, on peut par exemple définir la transformée de Fourier-Plancherel sur l'espace $L^2(\mathbb R)$ par prolongement de la transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz $\mathcal S(\mathbb R)$, ou l'intégrale d'une fonction réglée (en prolongeant l'intégrale d'une fonction en escalier).
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