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Bibm@th

Solution d'une équation différentielle

Soient $U$ un ouvert de $\mathbb R\times \mathbb R^m$ et $f:U\to\mathbb R^m$ une fonction. On considère l'équation différentielle $y'=f(x,y)$, où $(x,y)\in U$.

  • Une solution de l'équation différentielle est la donnée d'un couple $(y,I)$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $y$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R^m$ dérivable tels que, pour tout $x\in I$, $\big(x,y(x)\big)\in U$ et $y'(x)=f\big(x,y(x)\big)$.
  • Si $(y_1,I_1)$ et $(y_2,I_2)$ sont deux solutions de l'équation différentielle, on dit que $(y_2,I_2)$ est un prolongement de $(y_1,I_1)$ si $I_1\subset I_2$ et pour tout $x\in I_1,$ $y_1(x)=y_2(x).$
  • On dit que $(y,I)$ est une solution maximale de l'équation différentielle si elle n'admet pas de prolongement. Autrement dit, pour toute autre solution $(z,J)$ telle que $I\subset J$ et $y(x)=z(x)$ pour tout $z\in I,$ alors $J=I.$
  • Lorsque l'ouvert $U$ est de la forme $J\times V$, où $J$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $V$ est un ouvert de $\mathbb R^m$, on dit que la solution $(y,I)$ est une solution globale lorsque $J=I$ (autrement dit, l'intervalle de définition de la solution est le plus grand que l'on puisse espérer).

Remarquons qu'une solution globale est toujours maximale, mais qu'une solution maximale peut tout à fait ne pas être globale.

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