Prolongement par continuité
Il arrive qu'une fonction soit définie partout sauf en un point, mais qu'on extrapole par passage à la limite la valeur plausible en ce point. On réalise alors un prolongement par continuité. Prenons un exemple : soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R\backslash\{0\}$ par $f(x)=\sin(x)/x$. Alors la fonction $f$ n'est pas définie en $0$, mais d'après une limite classique, la limite de $f$ en $0$ est $1$. Posons $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=\sin x/x$ si $x\neq 0$, et $g(0)=1$. Alors $g$ :
- prolonge $f$ (ces deux fonctions sont égales sur l'ensemble de définition de $f$).
- est continue en $0$.
On appelle $g$ le prolongement par continuité de $f$ en $0$.
De façon générale, si $I$ est un intervalle et $x_0\in I,$ si $f$ est une fonction définie sur $I\backslash\{x_0\},$ et si $\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell$ existe, alors la fonction $g$ définie sur $I$ par $$g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f(x)&\textrm{ si }x\neq x_0\\ \ell&\textrm{ si }x=x_0 \end{array}\right.$$ s'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $x_0$. La fonction $g$ est alors continue en $x_0$.