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Progression arithmétique

On appelle progression arithmétique tout ensemble d'entiers de la forme $an+b$, où $a$ et $b$ sont deux autres entiers, et $n$ décrit l'ensemble des entiers naturels. Autrement dit, une progression arithmétique désigne l'ensemble des valeurs prises par une suite arithmétique.

Ce terme de progression arithmétique est souvent associé à un célèbre théorème de Dirichlet : si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers dans la progression arithmétique $an+b$.

Démontrons un cas (très) particulier de ce théorème, à savoir qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4k+3$. Supposons qu'il en existe seulement un nombre fini. On considère alors $$n=3\times 7\times 11\times 19\times\cdots$$ le produit de ces nombres, et posons $m=4n-1$. Aucun nombre premier de la forme $4k+3$ ne peut diviser $m$. En effet, dans ce cas, $4k+3$ divise aussi n (qui est le produit de ces nombres), et par conséquent $1$, ce qui est impossible! Tous les nombres premiers qui divisent $m$ sont donc de la forme $4k+1$. En particulier, le reste de $m$ dans la division euclidienne par $4$ est $1$. Mais c'est impossible, car $4n-1=4(n-1)+3$, et le reste vaut $3.$

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