Produit tensoriel
Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels est un moyen de transformer l'étude des applications bilinéaires sur ces deux espaces en l'étude des applications linéaires sur un espace plus compliqué.
Théorème et définition : Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels
sur le même corps $K$. Il existe un espace vectoriel noté $E\otimes F$ et une application bilinéaire
$\otimes:E\times F\to E\otimes F$, $(x,y)\mapsto x\otimes y$, ayant la propriété universelle suivante :
pour tout espace vectoriel $G$ sur $K$, pour toute application bilinéaire $\phi:E\times F\to G$, il existe
une unique application linéaire $f:E\otimes F\to G$ telle que, pour tout $x\in E$, tout $y\in F$,
$\phi(x,y)=f(x\otimes y).$
De plus, le couple $(E\otimes F,\otimes)$ est unique à isomorphisme près. On l'appelle le produit
tensoriel de $E$ et de $F$.
On prouve que si $(e_i)_{i\in I}$ et $(f_j)_{j\in J}$ sont des bases respectives de $E$ et $F$, alors $(e_i\otimes f_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $E\otimes F$. En particulier, si $E$ et $F$ sont de dimension finie, $$\dim(E\otimes F)=\dim(E)\times \dim(F).$$
Recherche alphabétique
Recherche thématique