$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Produit tensoriel

Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels est un moyen de transformer l'étude des applications bilinéaires sur ces deux espaces en l'étude des applications linéaires sur un espace plus compliqué.

Théorème et définition : Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur le même corps $K$. Il existe un espace vectoriel noté $E\otimes F$ et une application bilinéaire $\otimes:E\times F\to E\otimes F$, $(x,y)\mapsto x\otimes y$, ayant la propriété universelle suivante : pour tout espace vectoriel $G$ sur $K$, pour toute application bilinéaire $\phi:E\times F\to G$, il existe une unique application linéaire $f:E\otimes F\to G$ telle que, pour tout $x\in E$, tout $y\in F$, $\phi(x,y)=f(x\otimes y).$ De plus, le couple $(E\otimes F,\otimes)$ est unique à isomorphisme près. On l'appelle le produit tensoriel de $E$ et de $F$.

On prouve que si $(e_i)_{i\in I}$ et $(f_j)_{j\in J}$ sont des bases respectives de $E$ et $F$, alors $(e_i\otimes f_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $E\otimes F$. En particulier, dans le cas de la dimension finie, $$\dim(E\otimes F)=\dim(E)\times \dim(F).$$

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