$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Produit semi-direct

Lorsqu'on étudie la structure d'un groupe fini $G$, il est souvent utile de le "casser" en trouvant deux sous-groupes $N$ et $H$ de $G$, et en reconstruisant $G$ à partir de $N$ et de $H$. Le cas le plus facile est celui où $G$ est isomorphe au produit direct de $N$ et $H$. Ce n'est pas toujours possible, et on est amené à la notion de produit semi-direct.

Définition : Soit $N$ et $H$ deux groupes, $f$ un morphisme de $H$ dans $\textrm{Aut}(N)$, le groupe des automorphismes de $N$. Soit $G$ l'ensemble produit $N\times H$. On munit $G$ d'une structure de groupe de la façon suivante : le produit de $(n,h)$ et $(n',h')$ est défini par $$(n,h)\cdot (n',h')=(nf(h)(n'),hh').$$ On dit alors que G est le produit semi-direct de $N$ par $H$ (relativement à $f$) et on note $G=N\rtimes_f H$.

Lorsque $f$ est le morphisme trivial, c'est-à-dire si $f(h)=\textrm{Id}_N$ pour tout $h\in H,$ alors on retrouve la définition du produit direct.

Exemple : Le groupe diédral $D_{2n}$ des isométries qui conservent un polygone régulier convexe à $n$ côtés est isomorphe au produit semi-direct de son sous-groupe $N=C_n$ des rotations de centre $O$ (le milieu du polygone) et d'un sous-groupe d'ordre 2 noté $H$ engendré par une réflexion $s$ qui conserve le polygone. Si $r_k$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $2k\pi/n$, $0\leq k\leq n-1$, alors le morphisme $f$ de $H$ dans $\textrm{Aut}(N)$ est défini par : $$f(1)(r_k)=r_k$$ $$f(s)(r_k)=r_{-k}.$$

Un cas particulier important est celui où on part d'un groupe fixé $G$, où $N$ est un sous-groupe normal de $G$, où $H$ est un sous-groupe de $G$, tels que

  • $N\cap H=\{e\}.$
  • $G=NH.$

Alors si on considère $g_1=n_1h_1$ et $g_2=n_2h_2$ deux éléments de $G$, leur produit s'écrit encore $$g_1g_2=n_1h_1n_2h_2=(n_1 h_1n_2h_1^{-1})h_1h_2.$$ Ceci amène à considérer $f:H\to\textrm{Aut}(N),$ $f(h)(n)=hnh^{-1}$ (qui est bien un automorphisme de $N$ car $N$ est normal). On démontre que $G$ est isomorphe au produit semi-direct $N\rtimes_f H.$

Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique