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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes > Théorie générale >

Produit semi-direct

Lorsqu'on étudie la structure d'un groupe fini $G$, il est souvent utile de le "casser" en trouvant deux sous-groupes $N$ et $H$ de $G$, et en reconstruisant $G$ à partir de $N$ et de $H$. Le cas le plus facile est celui où $G$ est isomorphe au produit direct de $N$ et $H$. Ce n'est pas toujours possible, et on est amené à la notion de produit semi-direct.

Définition : Soit $N$ et $H$ deux groupes, $f$ un morphisme de $H$ dans $\textrm{Aut}(N)$, le groupe des automorphismes de $N$. Soit $G$ l'ensemble produit $N\times H$. On munit $G$ d'une structure de groupe de la façon suivante : le produit de $(n,h)$ et $(n',h')$ est défini par $$(n,h)\cdot (n',h')=(nf(h)(n'),hh').$$ On dit alors que G est le produit semi-direct de $N$ par $H$ (relativement à $f$) et on note $G=N\rtimes_f H$.

Lorsque $f$ est le morphisme trivial, c'est-à-dire si $f(h)=\textrm{Id}_N$ pour tout $h\in H,$ alors on retrouve la définition du produit direct.

Exemple : Le groupe diédral $D_{2n}$ des isométries qui conservent un polygone régulier convexe à $n$ côtés est isomorphe au produit semi-direct de son sous-groupe $N=C_n$ des rotations de centre $O$ (le milieu du polygone) et d'un sous-groupe d'ordre 2 noté $H$ engendré par une réflexion $s$ qui conserve le polygone. Si $r_k$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $2k\pi/n$, $0\leq k\leq n-1$, alors le morphisme $f$ de $H$ dans $\textrm{Aut}(N)$ est défini par : $$f(1)(r_k)=r_k$$ $$f(s)(r_k)=r_{-k}.$$

Un cas particulier important est celui où on part d'un groupe fixé $G$, où $N$ est un sous-groupe normal de $G$, où $H$ est un sous-groupe de $G$, tels que

  • $N\cap H=\{e\}.$
  • $G=NH.$

Alors si on considère $g_1=n_1h_1$ et $g_2=n_2h_2$ deux éléments de $G$, leur produit s'écrit encore $$g_1g_2=n_1h_1n_2h_2=(n_1 h_1n_2h_1^{-1})h_1h_2.$$ Ceci amène à considérer $f:H\to\textrm{Aut}(N),$ $f(h)(n)=hnh^{-1}$ (qui est bien un automorphisme de $N$ car $N$ est normal). On démontre que $G$ est isomorphe au produit semi-direct $N\rtimes_f H.$

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