$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Produit de Cauchy de deux séries

Produit de Cauchy de deux séries numériques

Soit $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ deux séries numériques. Quelle est la série produit? On ne peut simplement la définir sous la forme $\sum_n u_n v_n$, car on n'aura pas $\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n\right)$ (prendre par exemple $u_n=v_n=1/2^n$).

Faisons plutôt le produit des sommes partielles $u_0+\cdots+u_n$ et $v_0+\cdots+v_n$ en regroupant les termes $u_iv_j$ selon les valeurs de l'indice $i+j$. Les premiers termes de la somme obtenue sont $$u_0v_0;u_0v_1+u_1v_0;u_0v_2+u_1v_1+u_2v_0;\dots;u_0v_n+u_1v_{n-1}+\cdots+u_nv_0.$$ Le produit des deux séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ est alors défini par la série de terme général $$w_n=u_0v_n+u_1v_{n-1}+\cdots+u_nv_0=\sum_{k=0}^n u_kv_{n-k}$$ qu'on appelle produit de Cauchy des deux séries. On dispose d'un théorème général qui permet de dire que la somme de la série produit est égal au produit des sommes des deux séries :

Théorème : Supposons que les séries de terme général $u_n$ et $v_n$ sont absolument convergentes. Alors la série de terme général $w_n$ est absolument convergente et l'on a $$\sum_{n=0}^{+\infty}w_n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n\right) .$$

On peut affaiblir un peu les hypothèses du théorème précédent : il suffit en fait que l'une des deux séries soit absolument convergente (c'est le théorème de Mertens). Il existe des exemples où les deux séries sont convergentes, mais non absolument convergentes, et telles que leur produit de Cauchy ne converge pas. Par exemple : $$u_n=v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}.$$

Produit de Cauchy de deux séries entières
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