Probabilités conditionnelles

On lance un dé parfaitement équilibré. La probabilité d'obtenir un 6 est ... 1/6. On suppose maintenant que les faces impaires de ce dé sont peintes en vert, et que ses faces paires sont peintes en bleu. On a aperçu de loin que, sur le dessus du dé, on a obtenu une face bleue. La probabilité d'obtenir un 6 devient ... 1/3.

Si on note $A$ l'événement "obtenir un 6", et $B$ l'événement "obtenir une face bleue", la probabilité d'obtenir $A$ n'est pas la même selon que l'on sait, ou non, si $B$ est réalisé. On va appeller probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $B$ est réalisée la valeur $1/3$.

Plus généralement, soit $(\Omega,P)$ un espace probabilisé, et $B$ un événement de probabilité non nulle. On appelle probabilité de $A$ sachant $B$ le réel $$P_B(A)=P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ $P_B$ est alors une probabilité, appelée probabilité conditionnelle relative à $B.$

Expliquons la formule donnant $P(A|B).$ Si on interprète les probabilités comme des limites de fréquences, on a la situation suivante : on répète $n$ fois une épreuve, on note $n_B$ le nombre d'issues positives pour $B,$ $n_{A\cap B}$ le nombre d'issues simultanément positives pour $A$ et $B.$ $n_{A\cap B}$ est donc aussi le nombre d'issues positives de $A$ parmi les issues positives de $B.$ La fréquence de réalisation de $A$ sachant que $B$ est réalisé vaut donc \begin{align*} f_{A|B}&=\frac{n_{A\cap B}}{n_B}\\ &=\frac{n_{A\cap B}}n\times\frac{n}{n_B}\\ &=f_{A\cap B}\times\frac{1}{f_B}\\ &=\frac{f_{A\cap B}}{f_B}. \end{align*}

Les probabilités conditionnelles sont une partie difficile des probabilités, qui donnent parfois des résultats qui heurtent l'intuition. C'est le mathématicien français Abraham de Moivre, exilé en Angleterre suite à l'édit de Nantes, qui avance au XVIIIè s. le concept de probabilité conditionnelle.