Idéal principal

Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est principal s'il est engendré par un unique élément. Lorsque $A$ est commutatif, cela revient à dire qu'il existe $x$ de $I$ tel que tout élément de $I$ s'écrive $ax$, où $a$ est un élément de $A$.

Exemples : Dans $\mathbb Z$ ou dans $\mathbb K[X],$ tout idéal est principal (de tels anneaux sont appelés anneaux principaux). En revanche, dans $\mathbb Z[X],$ l'idéal engendré par $2$ et $X$ n'est pas principal.

Si $A$ n'est pas commutatif, l'idéal principal engendré par $x$ est l'ensemble des $axb,$ avec $a,b\in A.$ On parle aussi parfois d'idéal bilatère principal, qu'on sépare de la notion d'idéal principal à gauche engendré par $x$ (l'ensemble des $ax,$ avec $a\in A$) et de celle d'idéal à droite engendré par $x$ (l'ensemble des $xa,$ avec $a\in A$).