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Propriété presque sûrement vraie

Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé, et $\mathcal P$ une propriété que peuvent vérifier ou non les éléments de $\Omega.$ On pose $$A=\{\omega\in\Omega:\ \omega\textrm{ vérifie }\Omega\}.$$ Si $P(A)=1,$ on dit que la propriété $\mathcal P$ est presque sûrement vraie.

Ex : On lance un dé à 6 faces parfaitement équilibré, et on répète les lancers jusqu'à obtenir un 6. Alors, presque sûrement, on ne lance qu'un nombre fini de fois le dé.

Cela signifie qu'il n'est pas impossible, en théorie, d'être très malchanceux et de n'obtenir jamais de 6. Mais en pratique, cela ne se produit jamais.

Prouvons ce résultat : soit $F$ l'événement "On n'effectue qu'un nombre fini de lancers", et $G$ l'événement contraire. Soit $A_n$ l'événement "Au cours des $n$ premiers lancers, on n'obtient pas de 6". Clairement, les événements $A_n$ sont décroissants, et $P(A_n)=(5/6)^n.$ Maintenant $$G=\bigcap_{n\geq 1}A_n\implies P(G)=P\left(\bigcap_{n\geq A}A_n\right)=\lim_{n\to+\infty}P(A_n)=0.$$ On obtient que $G$ est un événement négligeable : on effectue presque sûrement un nombre fini de lancers.

On parle souvent de convergence presque partout. Si $f,f_n:\Omega\to E$, la suite $(f_n)$ converge presque sûrement vers $f$ si, pour presque tout $\omega\in\Omega,$ $f_n(\omega)$ tend vers $f(\omega).$

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