Nombres premiers entre eux

Deux entiers $a$ et $b$ sont dits premiers entre eux si leur pgcd vaut $1$. Autrement dit, deux entiers sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont $1$ et $-1$.

Le théorème principal attaché aux nombres premiers entre eux est le théorème de Bézout. En effet, $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $$au+bv=1.$$ Ce théorème permet de démontrer un grand nombre d'autres résultats, comme par exemple le lemme de Gauss : si $a$ et $b$ sont premiers entre eux et $a$ divise $bc$, alors $a$ divise $c$.