Idéal premier
Un idéal propre $I$ d'un anneau commutatif $A$ est premier si, pour tous éléments $a,b$ de $A$, si $ab$ est élément de $I$, alors ou $a$ est élément de $I$, ou $b$ est élément de $I$. Ceci revient à dire que l'anneau quotient $A/I$ est intègre, et cela permet de généraliser la notion de nombre premier à des anneaux plus compliqués que $\mathbb Z$ ou $\mathbb K[X].$
Exemples :
- Dans $\mathbb Z$, l'idéal $n\mathbb Z,$ $n\in\mathbb N,$ est premier si et seulement si $n=0$ ou $n$ est un nombre premier.
- Dans $\mathbb K[X],$ l'idéal engendré par $P\in\mathbb K[X],$ $P\neq 0,$ est premier si et seulement si $P$ est irréductible.
- Dans $\mathbb Z[X],$ l'idéal $I$ engendré par $2$ et $3X$ n'est pas premier : $3X+6=3(X+2)$ est élément de $I,$ mais ni $3$ ni $X+2$ n'est élément de $I.$
- Les idéaux premiers de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ sont les $d\mathbb Z/n\mathbb Z$ où $d$ est un nombre premier qui divise $n.$
- Les idéaux premiers de $\mathbb Z[X]$ sont $(0)$, les idéaux qui s'écrivent $(P)$ où $P$ est un polynôme irréductible (éventuellement constant) et ceux qui s'écrivent $(p, P)$ où $p$ est un nombre premier et $P$ un polynôme unitaire irréductible modulo $p.$
Les idéaux maximaux sont liés aux idéaux premiers par le théorème suivant :
Théorème :
Soit $A$ un anneau commutatif. Alors tout idéal maximal de $A$ est premier. Réciproquement, si $A$ est principal,
tout idéal premier non réduit à $\{0\}$ est maximal.
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