Élément premier d'un anneau
Dans un anneau commutatif, un élément $p$ est dit premier s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit $ab$ divisible par $p,$ l'un des deux facteurs $a$ ou $b$ est divisible par $p.$
Dans un anneau intègre, tout élément premier est irréductible. Dans un anneau factoriel, ces deux notions sont équivalentes. En particulier, dans $\mathbb Z$, les éléments premiers positifs sont les nombres premiers au sens usuel de l'arithmétique.
Proposition :
- Dans un anneau commutatif, un élément $p$ est premier si et seulement si l'idéal $(p)$ est premier non nul.
- Dans un anneau intègre, un idéal principal non nul est premier si et seulement s'il est engendré par un élément premier.
- Dans un anneau factoriel, tout idéal premier non nul contient un élément premier.
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