$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Précompact

Soit $(X,d)$ un espace métrique. On dit que $(X,d)$ est précompact s'il vérifie une des conditions équivalentes suivantes :

  • pour tout $\veps>0$, on peut recouvrir $X$ par des boules de rayon $\veps.$
  • pour tout $\veps>0,$ on peut recouvrir $X$ par un nombre fini de parties de diamètre inférieur à $\veps.$
  • toute suite de $X$ possède une sous-suite de Cauchy.

Être précompact est donc un peu plus faible qu'être compact, puisqu'on impose aux ouverts du recouvrement d'être tous des boules de même rayon. Cependant, la différence est mince comme le montre le théorème suivant :

Théorème : Soit $(X,d)$ un espace métrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $X$ est compact.
  • $X$ est précompact et complet.

Les espaces métriques précompacts possèdent les propriétés suivantes : ils sont bornés et ils sont séparables.

Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique